是否存在一个实数的等比数列{an}同时满足下列两个条件:

(1)方程x^2-4x+32/9=0的两个根是4/3,8/3。所以a3=4/3，a4=8/3，或者a3=8/3,a4=4/3

(2)存在一个自然数m,使(2/3)am-1,am^2,(am+1)+(4/9)就是说2am^2=(2/3)a(m-1)+a(m+1)+4/9。两端除以am，得到2am=2/(3q)+q+4/(9am) --（1）
有两种情况：若a3=4/3，a4=8/3，那么q=2，代入上式得2am=7/3+4/(9am)。此时易知am=2^(m-1)/3，代入得2^m/3=7/3+2^(3-m)/3。即2^m=7+8/2^m。解得2^m=8或-1.所以m=3满足

若a3=8/3,a4=4/3，则q=1/2，代入(1)得2am=11/6+4/(9am)>11/6。可见am>11/12
但是an是递减的，a3就已经小于11/12了。所以m只能是1或2。而a1=32/3和a2=16/3都不满足2am=11/6+4/(9am）,所以m不存在

综上所述，存在m=3满足要求，此时an=2^(n-1)/3

1)
a3+a4=4
a3a4=32/9

等比数列
a3(1+q)=4 (1)
a3^2*q=32/9 (2)
(1)^2/(2):
(1+q)^2/q=9/2
1+2q+q^2=9q/2
2q^2-5q+2=0
(q-2)(2q-1)=0
q=2或q=1/2
2)
假设存在：有
2Am=(2/3)Am-1＋(Am+1)+(4/9)
q=2时
即：2A(m-1)*2=2*A(m-1)/3+A(m-1)*4+4/9
即：2*A(m-1)/3=-4/9
A(m-1)=-2/3
因为q>0
所以An各项同号！
若A(m-1)=-2/3 则a3 ,a4均<0
而：a3+a4=4>0
所以假设不成立，即m不存在！！

q=1